9. 1要因実験の分析

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心理学的知覚時間(音読条件)

「音読しながら私はどれほど正確に時間の長さを評価できるだろう」

「夏目漱石 吾輩は猫である」を冒頭から順に音読する

心理学的知覚時間(運動条件)

「片足立ちをしながら私はどれほど正確に時間の長さを評価できるだろう」

奇数回目は右足、偶数回目は左足で立つ

本章では実験計画によって収集されたデータの分析方法について論じる

研究目的に応じて、どのような実験を行えばよいかを研究する分野

9.1. 要因と水準

「対照条件」、「聴音条件」に加えて、「音読条件」と「運動条件」を同時に分析する

測定値に影響を及ぼすと考えられる多くの原因のうち、その実験で取り上げ、調べられる質的な変数

ここでは条件の違いの知覚時間への影響を調べているので、要因は「条件」

1つだけの要因に着目した実験

要因のとるさまざまな状態

水準の数

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9.1.1. １要因計画

$ y_{ij} = \mu_j +e, \quad e \sim N(0, \sigma_e) \qquad (9.1)

したがって、2群の差のモデルでいうところのEQUであり、すべての群の標準偏差を共通させている

(9.1)式により、測定値の確率分布は、正規分布の密度関数を用いて、以下のように表現される

$ f(y_{ij}|\mu_j, \sigma_e) \qquad (9.2)

$ f(\bm y_j|\mu_j, \sigma_e) = f(y_{1j}|\mu_j, \sigma_e) \times f(y_{2j}|\mu_j, \sigma_e) \times \cdots \times f(y_{n_jj}|\mu_j, \sigma_e) \qquad (9.3)

水準ごとにデータ数は異なっていても構わない

$ f(\bm y|\bm\theta) = f(\bm y|\bm\mu, \sigma_e) = f(\bm y_1|\mu_1, \sigma_e) \times \cdots \times f(\bm y_j|\mu_j, \sigma_e) \times \cdots \times f(\bm y_a|\mu_a, \sigma_e) \qquad (9.4)

$ \mu_j \sim U(0, 100), \quad \sigma_e \sim U(0, 50) \qquad (9.5)

(2.14)式に相当する同時事前分布

$ f(\bm\theta) = f(\mu_1) \times \cdots \times f(\mu_j) \times \cdots \times f(\mu_a) \times f(\sigma_e) \qquad (9.6)

(2.15)式に相当する事後分布

$ f(\bm \theta|\bm y) \propto f(\bm y|\bm\theta)f(\bm\theta) \qquad (9.7)

この式の右辺とMCMC法を組み合わせることにより、母数の事後分布・生成量の事後分布・予測分布に従う乱数を生成することが可能となる

table: 表9-2 母数の推定結果

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

対照μ₁ 31.04 0.55 29.96 30.14 31.04 31.94 32.12

聴音μ₂ 32.76 0.55 31.69 31.87 32.76 33.66 33.83

音読μ₃ 33.07 0.55 31.99 32.17 33.07 33.97 34.15

運動μ₄ 29.11 0.55 28.03 28.21 29.11 30.00 30.18

σₑ 2.43 0.20 2.08 2.12 2.41 2.78 2.86

9.1.2. 水準の平均と水準の効果

母数の関数として導かれる生成量

$ \mu = \frac{1}{a}(\mu_1 + \cdots + \mu_a) \qquad (9.8)

特段の理由がない場合は各水準の平均の単純な平均として生成する

これは矛盾したモデル構成である

$ a_j = \mu_j - \mu \qquad (9.9)

解釈の中心となる重要な生成量

これは全平均からの偏差であり以下の性質がある

$ a_1 + \cdots + a_a = \mu_1 + \cdots + \mu_a - a\mu = 0 \qquad (9.10)

生成量を求める

$ \mu^{(t)} = \frac{1}{a}(\mu_1^{(t)} + \cdots + \mu_a^{(t)}), \quad a_j^{(t)} = \mu_j^{(t)} - \mu^{(t)} \qquad (9.11)

生成量の推定結果

table: 表9-3 全平均と水準の効果の推定結果

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

μ 31.50 0.27 30.95 31.05 31.50 31.95 32.04

対照a₁ -0.45 0.47 -1.39 -1.23 -0.45 0.33 0.48

聴音a₂ 1.26 0.47 0.34 0.49 1.26 2.04 2.19

音読a₃ 1.58 0.47 0.65 0.80 1.58 2.36 2.51

運動a₄ -2.39 0.47 -3.31 -3.16 -2.39 -1.62 -1.46

水準の効果の事後分布の箱ひげ図

https://gyazo.com/ea60a850ea48a5e96db27214b8d61d7e

「聴音」と「音読」は正の、「運動」は負の効果の存在を確信できそう

9.2. 水準と要因の考察

独立した1要因のモデルでは、たとえば以下の分析ができる

1. 水準の効果の生む(どの水準が大きいのか小さいのか)

2. 要因の効果の大きさ(効果はどの程度か)

3. 水準間の比較(どの対に差があるのか)

4. 連言命題が正しい確率

5. 特に興味のある2水準間の比較

ただし、4以降は余力がある場合のみでよく、行わなくてもよい

9.2.1. 水準の効果の評価

$ u_{a_j>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & a_j^{(t)} > c \\ 0 & それ以外 \end{cases} \qquad (9.12)

table: 表9-4 水準の効果が0より大きい(小さい)確率

条件 対照 聴音 音読 運動

U_a_j>0 0.169 0.996 1.000 0.000

U_a_j<0 0.831 0.004 0.000 1.000

データ数の増加に伴い、水準の効果のpost.sdに平均的に小さくなる

9.2.2. 要因の効果の評価

$ \sigma_y^2 = \sigma_a^2 + \sigma_e^2 \qquad (9.13)

ここで

$ \sigma_a^2 = \frac{1}{a}\{(\mu_1 - \mu)^2 + \cdots + (\mu_a - \mu)^2\} = \frac{1}{a}(a_1^2 + \cdots + a_a^2) \qquad (9.14)

要因の分散は、水準ごとのデータ数が異なっても影響されない

$ \eta^2 = \frac{\sigma_a^2}{\sigma_y^2} = \frac{\sigma_a^2}{\sigma_a^2 + \sigma_e^2} \qquad (9.15)

(9.13)式から明らかなように、説明率は測定値の分散に占める要因の分散の比率

要因の効果の大きさを解釈するために利用できるもう1つの指標としては効果量がある

$ \delta = \frac{\sigma_a}{\sigma_e} \qquad (9.16)

水準間の標準偏差が、水準内の標準偏差の何倍に相当するかで要因の効果の大きさを表現する

説明率(9.15)式は、測定値の分散を利用した要因の効果の大きさの指標

それに対して、効果量(9.16)式は、要因の影響を受けていない水準内の平均的散らばりを利用した要因の効果の大きさの指標

効果の大きさに関する生成量を計算する

$ \begin{aligned} \sigma_a^{2(t)} & = \frac{1}{a}\{(\mu_1^{(t)} - \mu^{(t)})^2 + \cdots + (\mu_a^{(t)} - \mu^{(t)})^2\}, \\ \eta^{2(t)} & = \frac{\sigma_a^{2(t)}}{\sigma_a^{2(t)} + \sigma_e^{(2(t)}}, \quad \delta^{(t)} = \frac{\sigma_a^{(t)}}{\sigma_e^{(t)}} \end{aligned}

table: 表9-5 効果の大きさに関する生成量の推定結果

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

σₐ 1.628 0.268 1.102 1.188 1.628 2.071 2.158

η² 0.311 0.076 0.160 0.184 0.313 0.434 0.456

δ 0.675 0.122 0.437 0.476 0.674 0.876 0.915

https://gyazo.com/245cfae445437cbd8c74679220da71ac

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9.3. 水準間の考察

どの水準とどの水準に間に差があるのだろうか

$ u_{\mu_j -\mu_j'>c}^{(t)} = \begin{cases} 1 & \mu_j^{(t)} - \mu_{j'}^{(t)} > c \\ 0 & それ以外の場合 \end{cases} \qquad (9.17)

table: 表9-6 行jの水準が列j'の水準より大きい確率

条件 対照(μ₁) 聴音(μ₂) 音読(μ₃) 運動(μ₄)

対照(μ₁) 0.000 0.013 0.004 0.994

聴音(μ₂) 0.987 0.000 0.341 1.000

音読(μ₃) 0.996 0.659 0.000 1.000

運動(μ₄) 0.006 0.000 0.000 0.000

「別々に」と述べたのは、同時に成り立つ確率とは異なるから

9.3.1. 連言命題が正しい確率

この研究仮説が正しい確率は以下の生成量のEAPで評価される

$ u_{\mu_3 > \mu_2}^{(t)} \times u_{\mu_2>\mu_1}^{(t)} \times u_{\mu_1>\mu_4}^{(t)} \qquad (9.18)

これは以下の生成量のEAPで評価される

$ u_{\mu_3 > \mu_1}^{(t)} \times u_{\mu_2 > \mu_1}^{(t)} \times u_{\mu_1 > \mu_4}^{(t)} \qquad (9.19)

これは以下の生成量のEAPで評価される

$ u_{\mu_3 > \mu_4}^{(t)} \times u_{\mu_2 > \mu_4}^{(t)} \times u_{\mu_1 > \mu_4}^{(t)} \qquad (9.20)

9.3.2. 特に興味のある2水準間の比較

分析者が興味ある特定な2つの水準間の差を詳しく分析することも可能

表9-2より「音読」と「聴音」の差が一番小さく、「音読」と「運動」の差が一番大きかった

この2つの水準の差を詳しく推測してみる

独立した2群の分析の中で導入された差の分析を選んで実行する

平均の大きい水準を第1群に、平均の小さい水準を第2群に指定すると解釈しやすい

ただし当該の水準のデータを使って再分析をしてはいけない

ベイズ統計学はデータの2度使いをしないから

ここでは平均の差、効果量、非重複度、優越率、閾上率を選んで例示する

「音読」と「聴音」の差の分析結果を表9-7西目市、「音読」と「運動」の差の分析結果を表9-8に示す

table: 表9-7 音読と聴音に関する差の推定結果

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

μ₃ - μ₂ 0.314 0.771 -1.199 -0.954 0.314 1.574 1.821

δ 0.130 0.316 -0.488 -0.390 0.130 0.651 0.747

U₃ 0.549 0.120 0.313 0.348 0.552 0.742 0.772

π_d 0.536 0.087 0.365 0.391 0.537 0.677 0.701

π_0.5 0.479 0.087 0.312 0.337 0.478 0.623 0.649

table: 表9-8 音読と運動に関する差の推定結果

EAP post.sd 2.5% 5% 50% 95% 97.5%

μ₃ - μ₄ 3.968 0.772 2.457 2.695 3.971 5.238 5.489

δ 1.645 0.345 0.974 1.078 1.644 2.214 2.320

U₃ 0.940 0.041 0.835 0.860 0.950 0.987 0.990

π_d 0.871 0.051 0.755 0.777 0.877 0.941 0.950

π_2.0 0.713 0.076 0.552 0.579 0.718 0.830 0.847

放送授業

分散分析では、アンバランスか否かで計算方法が変わる

計算の方法は理解ではなく、しばしば暗記させられる

ベイズ的アプローチでは、アンバランスか否かで計算手順は変わらない

アンバランスという状態は、実験計画にとって決して望ましい状態ではなく、できるだけ避けるべきである

分散分析の要因の効果がデータ数で定義されていることは理論的矛盾である